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12.9.15

El juego de las 3 puertas

Una persona debe elegir una de las 3 puertas. Detrás de una de ellas hay un automóvil(A) y una cabra(C) en cada una de las otras dos. 
El concursante elige una puerta al azar. El presentador le abre una de las otras dos, siempre tras la cual hay una cabra, y le ofrece  la posibilidad de cambiar de puerta entre las dos que restan.
¿Qué haría usted? 
Sol.:
Imaginemos que elegimos siempre abrir la puerta 1, que tiene un 33% de probabilidad de que sea un coche y 66% de cabra. Si en la puerta 2 hay cabra, en la puerta 3 habrá un 66% de coche, por tanto es mejor cambiar siempre de puerta. El ejemplo es válido para cualquier combinación.
Veámos otra forma: las posibilidades son tres, que el automóvil(A) esté en la puerta 1, en la 2 o en la 3, es decir: C1C2A3, C1A2C3 o A1C2C3. Ahora, supongamos que siempre elige la puerta 1 y cambia siempre:

Caso 1: C1C2A3 ----> Se abre la puerta 2 con cabra ----> C1 y A3 ----> Cambia----> Acierta

Caso 2: C1A2C3 ----> Se abre la puerta 3 con cabra ----> C1 y A2 ----> Cambia-----> Acierta

Caso 3: A1C2C3 ----> Se abre la puerta 2 con cabra ----> A1 y C3 ----> Cambia -----> Falla

Luego vemos que ha acertado en 2 de cada 3 casos, 2/3 o 66,6% siempre que cambie de puerta, y 1/3 si nunca cambia o 33,3%.

Otra forma más sencilla sin hacer números sería: Al elegir una puerta al azar, lo más probable es que sea cabra puesto que hay 2 y solo un auto. Si el presentador abre una puerta siempre con una cabra, pues lo más probable es que el coche esté en la no elegida que queda sin abrir, por eso es mejor siempre cambiar de puerta.

O bien con este ejemplo. Hay 100 puertas. Tras una hay 1 auto. Y 1 cabra en cada una de las restantes 99. Elegimos la nº1 al azar, con un 99% de que sea cabra. Ahora nos abren las puertas de la 2 a la 99 con todas cabra. Ahora sólo queda la puerta nº 100 por abrir. ¿Cambiaríamos la puerta nº 1 por la nº 100? Sí, con un 99% de que esté el auto.

A ver con 1 millón de puertas. Elegimos la nº1 al azar, y nos abren todas las demás con cabra salvo la última. La primera elegida tiene un 0,0001% de que tenga el coche y un 99,9999% de que sea cabra. ¿Cambiamos o no por la última puerta sin abrir? Sí, rotundamente cambiamos de puerta.
En resumen: Al elegir una puerta al azar, lo más probable es que sea cabra(66%) y que el coche esté en una de las otras dos puertas. Cuando el presentador abre una de esas dos y en ella hay una cabra, pues, lo más probable es que en la restante sin abrir esté el coche. Por ello es mejor cambiar de puerta siempre.


Puede practicar en este sitio web de la Universidad de San Diego California: The Monty Hall Page

                                                          Tabla de casos posibles