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29.12.15

¿Cúal es la probabilidad de empate de los 3.030 votantes de la CUP?

El pasado 28 de diciembre de 2015 los 3.030 votantes de la CUP empataron con 1.515 votos a favor y 1.515 votos en contra de investir a Artur Mas como presidente de Catalunya.
Hubo controversia en Twitter por los distintos resultados que aparecieron en tweets de diferentes expertos en la materia.
A priori, la probabilidad parecía fácil de calcular. Y como algún matemático apuntó erróneamente consistiría en dividir 1 caso entre los 3031 posibles, o 1 entre los (n+1) casos.
P= 1/(n+1)= 1/3031= 0,00033, pero no es el caso, pues este método sólo es válido para casos equiprobables como podría ser una lotería.
Pero, aquí las combinaciones resultantes no son equiprobables, ya que es más probable que salga un empate que todos síes o todos noes, por ejemplo.

Veamos el caso para 4 votantes

     1    2    3    4    5    6    7     8    9   10    11   12    13    14    15    16
A  Sí  Sí   Sí   Sí  Sí   Sí   Sí   Sí   No  No   No  No  No   No   No   No
B  Sí  Sí   Sí   Sí  No  No No  No  No  No   No  No  Sí     Sí     Sí    Sí
C  Sí  Sí   No No No  No Sí   Sí   No  No   Sí   Sí    Sí     Sí     No   No
D  Sí  No  Sí  No No  Sí  Sí   No  No  Sí    No  Sí    Sí     No   No    Sí
---------------------------------------------------------------------------------------
                       E          E          E                         E              E              E

Los casos posibles son 16 o 24 y en general, para n votantes, 2n


Vemos que hay 6 casos de empates E, 4 mayorías de síes, 4 mayorías de noes, 1 caso de todos síes y 1 caso de todos noes.
Luego la probabilidad de empate sería 6/16 o 0,375 o 37,5%

La probabilidad de que gane el sí o el no, sería 5/16 o 31,25% y la de unanimidad en sí o no, sería 1/16 o 6,25%.
Los casos de empate coinciden  con la binomial (4,2) cuyo resultado es 6.

El caso general de una binomial es (m,n) = m!/((m-n)!*n!)

(4,2)= 4!/(2!*2!) = 6

Los casos de empate coinciden siempre con la binomial (m,n) siempre que m sera par y n la mitad.

Así, si tenemos 3.030 votantes, los casos de empate vendrán dados por la binomial (3030,1515) y el número total de casos posibles serán  23030.

Luego la probabilidad de un empate, suponiendo que no hay ni votos nulos ni en blanco sería:

P = binomial(3030,1515) /  23030 = 0,0145 o expresado en porcentaje, 1,45%, un resultado no tan pequeño comparado con el erróneo 0,033% arriba calculado.

El cálculo de la binomial(3030,1515) /  23030  puede verse aquí

Más información:
1. lavanguardia.com
2. https://gallir.wordpress.com/
3. http://www.eldiario.es/